주어진 다항식 \( x^2 - 4x + a - 7 = 0 \)의 실근이 존재하기 위해 판별식 \( \Delta \)가 0 이상이어야 합니다. 판별식 \( \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 7) \)를 계산하여 \( 16 - 4(a - 7) \geq 0 \)을 정리하면 \( 4 + 4a \leq 16 \)로, \( a \leq 3 \)입니다. 또한, \( x^2 + 2x + 3a - 5 = 0 \)의 판별식도 0 이상이어야 하므로 \( 4 - 4(3a - 5) \geq 0 \)가 성립해야 하여 \( a \)의 값을 구하면 \( a = 6 \)입니다.