주어진 부등식 \(-x^2+(k+2)x-(2k+1)>0\)의 해가 존재하지 않기 위해서는 판별식이 0 이하가 되어야 합니다. 판별식 \(D = (k+2)^2 - 4(-1)(-2k-1)\)를 계산하여 \(D \leq 0\)의 조건을 만족시킬 \(k\)의 범위를 구하면, 정수 솔루션의 개수는 2가 됩니다. 따라서 정답은 2입니다.