주어진 다항식 \( f(x) = x^4 + ax^3 + 2ax + 5 \)를 \( x^2 + 2 \)로 나누었을 때 나머지를 구하기 위해서는 \( x^2 = -2 \)일 때 \( f(x) \)의 값을 계산해야 합니다. 즉, \( f(-\sqrt{2}) \)와 \( f(\sqrt{2}) \)를 구한 후 두 값의 평균을 통해 나머지를 구할 수 있습니다. \( f(-\sqrt{2}) \)와 \( f(\sqrt{2}) \)를 각각 계산하면 다음과 같습니다: 1. \( f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^4 + a(-\sqrt{2})^3 + 2a(-\sqrt{2}) + 5 = 4 - 2a\sqrt{2} - 2a + 5 = 9 - 2a - 2a\sqrt{2} \) 2. \( f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 + a(\sqrt{2})^3 + 2a(\sqrt{2}) + 5 = 4 + 2a\sqrt{2} + 2a + 5 = 9 + 2a + 2a\sqrt{2} \) 이 두 값을 평균내면 나머지를 구할 수 있습니다. 나머지는 \( \frac{f(-\sqrt{2}) + f(\sqrt{2})}{2} \)로 계산됩니다. 이를 통해 \( a = 2 \)가 도출되며, 정답은 ②입니다.