주어진 다항식 \((1 - 2x + x^2)^5\)의 계수를 찾기 위해 이항정리를 활용하면, \(a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{10}\)의 합은 다항식의 \(x\)에 대한 모든 항의 계수의 합이 된다. \(x = 1\)을 대입하여 전체 계수를 계산하면, \((1 - 2 + 1)^5 = 0^5 = 0\)이므로, \(a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{10} = 128\)로 확인할 수 있다. 각 항 계수의 의미로 이와 같이 계산한 결과, 문제에서 요구한 \(a_0 + 2a_1 + 3a_2 + \cdots + 10a_{10}\)는 256이 된다.