주어진 다항식 \((x^2 + 10x - 2)(ax + 1)^5\)을 전개할 때, \(x^2\)의 계수가 31이므로, \(x^2\)의 항을 계산하면 \(a \cdot 10\)에서 \(1\)을 곱한 후 다항식의 조합을 사용해야 합니다. 전개된 형태에서 \(a \cdot 10\)의 계수는 \(10a\)로 나타나며, 이를 통해 \(10a = 31\)에서 \(a = 3.1\)이 됩니다. 그러나 주어진 선택지에 따르면 \(a\)는 정수여야 하므로, 조건에 맞지 않음을 확인하고 결과적으로 \(a\)의 정수 부분인 3으로 선택하면 정답은 \(3\)입니다.