주어진 문제에서 점 P의 속도 함수는 \( v(t) = t^2 + t + a \)입니다. 속도는 위치의 변화율이므로, \( P \)의 위치는 이 속도를 적분하여 구할 수 있습니다. \( t=0 \)에서 \( t=3 \)까지 위치의 변화량이 \( \frac{15}{2} \)로 주어졌습니다. 이를 통해 \( v(t) \)를 적분하고, 주어진 조건을 만족하는 \( a \)의 값을 찾아서 최종적으로 거리를 계산하면 정답은 \( \frac{59}{6} \)로 확인할 수 있습니다.