원은 주어진 방정식 \(x^2 + 6x + y^2 - 8y + 20 = 0\)으로, 이를 완전제곱식으로 변형하면 중심이 \((-3, 4)\)이고 반지름이 \(1\)인 원임을 알 수 있습니다. 직선 방정식 \(2x + y + a = 0\)가 원과 만나는 조건은 원의 중심과 직선 간의 거리가 반지름보다 작거나 같아야 하므로, 중심 \((-3, 4)\)에서 직선까지의 거리를 계산한 후, 이 거리가 \(1\) 이하로 되도록 \(a\)의 값을 조정하면, 최대값은 \(7\)이 됩니다. 따라서 정답은 \(4\)입니다.