주어진 함수는 \( f(x) = x^2 + x + 1 \)입니다. 먼저 \( f(1) \)을 계산하면 \( f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3 \)입니다. 이제 극한을 계산하기 위해 \( f(x^2) - f(1) \)을 구합니다. \( f(x^2) = (x^2)^2 + (x^2) + 1 = x^4 + x^2 + 1 \)이므로, \( f(x^2) - f(1) = x^4 + x^2 + 1 - 3 = x^4 + x^2 - 2 \)가 됩니다. 이제 주어진 극한을 정리하면 \( \lim_{x \to 1} \frac{x^4 + x^2 - 2}{x^3 - 1} \)이 됩니다. \( x^3 - 1 \)은 인수분해하면 \( (x-1)(x^2 + x + 1) \)로 표현할 수 있습니다. \( x^4 + x^2 - 2 \)를 \( x-1 \)로 나누면 나머지가 2가 됩니다. 따라서 극한을 계산하면 \( \lim_{x \to 1} \frac{2}{3} = 2 \)가 됩니다. 따라서 정답은 1입니다.