부등식 \( \log_2 k \leq \log_4(5k + 6) \)을 변환해보면, \( \log_2 k \leq \frac{1}{2} \log_2(5k + 6) \)이 됩니다. 양변에 2를 곱하면 \( 2 \log_2 k \leq \log_2(5k + 6) \)이 되고, 이를 다시 정리하면 \( k^2 \leq 5k + 6 \)이 됩니다. 이 방정식을 풀면 \( k^2 - 5k - 6 \leq 0 \)이 되어, \( (k - 6)(k + 1) \leq 0 \)을 얻게 됩니다. 이로부터 \( k \)의 가능한 정수값은 4, 5, 6입니다. 따라서 정답은 2입니다.