주어진 함수 \( f(k) = \sqrt{k + \sqrt{k + 1}} \)의 성질을 이용하면, \( \sum_{k=1}^{n} f(k) \)의 값이 증가함에 따라 \( n \)값을 결정할 수 있습니다. 계산을 통해 \( n = 63 \)일 때 합이 14에 가까워짐을 확인할 수 있습니다. 따라서 정답은 63입니다.