주어진 이차방정식 \(x^2 - 2x + 5 = 0\)의 근을 구하기 위해 판별식을 사용할 수 있습니다. 판별식 \(\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16\)로, 복소수 근을 가집니다. 이 근을 \(\alpha, \beta\)로 두고, \(\alpha^3 + \beta^3 + 5\alpha\)의 값을 계산하면, \(\alpha + \beta = 2\)와 \(\alpha\beta = 5\)를 이용해 \(\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2)\)의 관계로 최종적으로 3을 도출해 내므로 정답은 1입니다.