주어진 함수 \( y = -\frac{1}{x} - 6 \)에서 \( x > 0 \)일 때, \( y \)는 \( -\frac{1}{x} \)의 값이 작아지면서 \( -6 \)과 합쳐지므로 최소값에 도달합니다. \( x \)가 0에 가까워질수록 \( y \)는 \( -6 \)보다 큰 값을 갖지만, \( x \)가 커지면 \( y \)는 \( -6 \)에 점점 가까워지는 형태입니다. 따라서, 함수의 최솟값은 \( -6 \)에서 시작하여 \( -9 \) 이하로는 내려가지 않으므로, 정답은 \( 4 \)입니다.