주어진 원 \(C_1\)의 방정식을 변형하여 원의 중심을 구합니다. 직선 \(y=x\)에 대해 대칭이동을 적용하면, 중심의 y좌표가 x좌표로 바뀝니다. 대칭된 원 \(C_2\)의 중심과 원 \(C_1\)의 중심 간의 거리를 계산하면 \(6\sqrt{2}\)를 얻습니다. 따라서 정답은 4번입니다.