함수 \( f(x) \)는 \( \lim_{x \to 1} f(x) = 2 \)임을 주어지므로, \( f(1) = 2 \)입니다. 또한, \( g(x) \)는 정의에 따라 \( 0 \)에 가까워질 때의 함수입니다. \( h(x) = f(x)g(x) \)에서 연속성을 보장하기 위해서는 \( g(1) \)을 구해야 하고, 이를 통해 \( m \)의 값을 찾을 수 있습니다. 연속성을 만족하려면 \( g(1) = 1 \)이어야 하므로, \( m = 2 \)가 됩니다. 따라서 정답은 4입니다.