주어진 함수 \( f(a, b) = \sqrt{a} + b + 2\sqrt{ab} \)는 두 수의 조화 평균을 표현합니다. 그리고 \( f(k, k+1) \)의 값을 계산하면 \( \sqrt{k} + (k+1) + 2\sqrt{k(k+1)} \)로 수렴해, 결국 이 합은 약간의 계산을 통해 9에 도달합니다. 따라서 \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{f(k, k+1)} = 9 \)입니다.