부등식 \(x^2 + y^2 - 2xy \leq 0\)는 \((x - y)^2 \leq 0\)로 변형할 수 있으며, 이는 \(x = y\)일 때만 성립합니다. 이를 대입하여 \(x + y = 2y\)로 나타낼 수 있고, \(y = x\)를 만족하는 경우에서 최대값은 \(x + y = 2x\)가 됩니다. 최대값인 경우 \(x\)는 \(2\)일 때로 계산하면 \(x + y = 4\)가 됩니다. 따라서 정답은 \(4\)입니다.