주어진 수열 \(\{a_n\}\)의 성질을 활용하여, 일반항 \(a_k\)에 대한 구간 합의 극한을 구합니다. 극한을 계산할 때, 주어진 식을 정리하면 \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{3} \)과 관련된 값이 나옵니다. 이를 통해 정답은 8로 도출됩니다.